Navigace:
Lineární rovnice - úvod
Ekvivalentní úpravy rovnice
Rovnice mají před úpravou i po úpravě stejné kořeny, jestliže :
- přičteme k oběma stranám rovnice stejné číslo
- odečteme-li od obou stran rovnice stejné číslo
- přičteme-li k oběma stranám rovnice stejný mnohočlen
- odečteme-li od obou stran rovnice stejný mnohočlen
- vynásobíme-li obě strany rovnice stejným číslem, výrazem různým od nuly
- vydělíme-li obě strany rovnice stejným číslem, výrazem různým od nuly
- zaměníme-li levou a pravou stranu rovnice
Zkoušku správnosti vyřešení rovnice provádíme dosazením zjištěné hodnoty kořene rovnice do pravé i levé strany rovnice.
Jestliže se získané hodnoty levé i pravé strany rovnice rovnají, pak má rovnice dané řešení.
Při řešení rovnice prováděj i zápisy ekvivalentních úprav vpravo za pomocnou čáru.
Postup při řešení rovnice:
- Obsahuje-li rovnice lomené výrazy nebo zlomky, odstraníme je vynásobením obou stran rovnice společným jmenovatelem.
Jedná-li se o lomený výraz s neznámou ve jmenovateli, nejprve určíme podmínky řešitelnosti, stanovíme, pro které hodnoty proměnné má daný výraz smysl.
- Obsahuje-li rovnice závorky, odstraníme je (vynásobení, roznásobení ..)
- Po odstranění závorek sečteme, odečteme na každé straně rovnice číselné výrazy, výrazy s proměnnou
- Z levé strany rovnice převedeme číselné výrazy na pravou stranu, z pravé strany převedeme výrazy s proměnnou na levou stranu rovnice (přičteme, odečteme výrazy s opačnými znaménky)
- Na obou stranách rovnice sečteme, odečteme převedené výrazy
- Pokud je u proměnné jiný koeficient než jedna, vydělíme tímto koeficientem obě strany rovnice
- Po zjištění hodnoty kořene rovnice, provedeme zkoušku - dosazením této hodnoty za proměnnou zvlášť do zadání levé strany rovnice a pravé strany rovnice.
- Jsou-li hodnoty obou stran rovnic shodné, řešením rovnice je zjištěná hodnota kořene rovnice
Při zápisu rovnice zapisuj v každém kroku znaménko rovnosti pod sebe, pomůže to přehlednosti zápisu při výpočtu.
(Bohužel v našem zápisu to možné není).
Příklad 1.
3x - 4 = -5.(1 - x)
3x - 4 = -5 + 5x // +4 -5x
3x - 4 + 4 - 5x = -5 + 5x + 4 - 5x
-2x = -1 // :(-2)
x = 0,5
"zk:" zkouška
"L:" levá strana 3.0,5 - 4 = 1,5 - 4 = -2,5
"P:" pravá strana -5.(1 - 0,5) = -5. 0,5 = -2,5
"L = P" levá strana rovná se pravé straně
řešením rovnice je x = 0, 5
Zápis úpravy za pomocnou čarou slouží k tomu, abychom nemuseli vypisovat levou stranu rovnice s ekvivalentní úpravou, pravou stranu rovnice s ekvivalentní úpravou.
Postupuj, je-li zadáno
3x - 4 = -5 + 5x // +4 -5x
čteš levou stranu rovnice, jako první výraz s proměnnou 3x, podíváš se za pomocnou čáru, najdeš výraz s proměnnou -5x, výrazy odečteš
3x - 5x = -2x
na levé straně rovnice je dále -4, za pomocnou čarou +4, sečteš -4 + 4 = 0
stejným způsobem pokračuješ na pravé straně rovnice: první člen na pravé straně je číselný výraz -5 za čarou je číselný výraz +4, sečteš
-5 + 4= -1
dále je na pravé straně rovnice + 5x a za pomocnou čarou -5x, sečteš 5x - 5x = 0
a dostaneš tvar rovnice -2x = -1
před x je koeficient -2, tedy jiný než 1, proto číslem -2 vydělíš obě strany rovnice a dostáváš kořen rovnice x = 0,5
při popsaném postupu nemusíš provádět zápis kroku za pomocnou čarou do obou stran rovnice
Příklad 2.
5 + 7x - 13 = 12x + 8 + 3x // sečtu, odečtu na každé straně rovnice, co sečíst, odečíst lze
-8 + 7x = 15x +8 // + 8 - 15x
-8 + 7x + 8 - 15x = 15x + 8 + 8 -15x
-8x = 16 //: (-8)
x = -2
"zk:" zkouška
"L:" levá strana
5 + 7x - 13 = 5 + 7.(-2) - 13 = 5 - 14 -13 = -22
"P:" pravá strana
12x + 8 + 3x = 12.(-2) + 8 + 3.(-2) =
-24 + 8 - 6 = -22
"L = P" levá strana rovná se pravé straně
řešením rovnice je x = - 2
Příklad 3.
5 + 6x - 15 = 9x + 8 + 3x
6x - 10 = 12x + 8//+ 10 - 12x
6x - 10 + 10 -12x = 12x + 8 + 10 -12x
-6x = 18 // :(-6)
x = -3
"zk:" zkouška
"L:" levá strana
5 +6x -15 = 5 + 6.(-3) - 15
= 5 - 18 - 15 = -28
"P:" pravá strana
9x + 8 + 3x = 9.(-3) + 8 + 3.(-3)
= -27 + 8 - 9 = -28
"L = P" levá strana rovná se pravé straně
řešením rovnice je x = -3
Příklad 4.
// vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem .6
3.(y + 3) - 2.(y - 2) = 1.(2y + 1)
3y + 9 - 2y + 4 = 2y + 1
y + 13 = 2y + 1 // -13 - 2y
y + 13 - 13 - 2y = 2y + 1 - 13 - 2y
-y = -12 // :(-1)
y = 12
"zk:" zkouška
"L:" levá strana
"P:" pravá strana
"L = P" levá strana rovná se pravé straně
řešením rovnice je y = 12
Příklad 5.
5.(x - 0,4) = -2.(0,7 - x)
5x - 2 = -1,4 + 2x // +2 - 2x
5x - 2 + 2 - 2x = -1,4 + 2x + 2 - 2x
3x = 0,6 // :3
x = 0,2
"zk:" zkouška
"L:" levá strana
5.(x - 0,4) = 5.(0,2 - 0,4)
= 5.(-0,2) = -1
"P:"
pravá strana
-2.(0,7 - x) =
-2.(0,7 - 0,2) = -2.0,5 = -1
"L = P" levá strana rovná se pravé straně
řešením rovnice je x = 0,2
.
Autor: Mgr. Jitka Krupařová
Použitá literatura: doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 8. ročník základní školy, 1. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 8. ročník základní školy, 3. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 9. ročník základní školy, 1. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 9. ročník základní školy, 2. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Matematika pro 9. ročník základní školy, 3. díl: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2004 doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc. Pracovní sešit z matematiky, Soubor úloh pro 9. ročník základní školy: Prometheus, spol.s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, 2003 PhDr. Ivan Bušek, PhDr. Vlastimil Macháček, Bohumil Kotlík, Milena Tichá. Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník základní školy: Prometheus Praha, 1994 PhDr. Ivan Bušek, PhDr. Vlastimil Macháček, Bohumil Kotlík, Milena Tichá. Sbírka úloh z matematiky pro 9. ročník základní školy: Prometheus Praha, 1994 PaedDr. František Běloun, PhDr. Ivan Bušek, PhDr. Vlastimil Macháček, PhDr. Jana Müllerová, CSc., PhDr. Květa Sovíková a RNDr. Václav Šůla: SPN Praha, 1993
