Navigace:
Pythagorova věta - úvod
Důležité opakování
Každý pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel pravý a dva zbývající úhly ostré.
Součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 180[°].
Pravý úhel má velikost 90[°], proto 180[°] - 90[°] = 90[°], tedy na dva zbývající úhly zbývá celkem 90[°], proto oba musí být ostré.
Pravý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je jeho největším vnitřním úhlem a proti pravému úhlu leží největší strana trojúhelníku, která se nazývá přepona pravoúhlého trojúhelníku.
Zbylé strany leží proti menším úhlům, jsou menší a nazývají se odvěsny.
Pythagorova věta
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.
PROTO
pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c a odvěsnami b a a platí: c2= a2+ b2
S matematickým vyjádřením Pythagorovy věty pracujeme stejně jako s jednoduchou rovnicí, proto je vhodné, pro urychlení výpočtů, zapamatovat si "vzorečky" pro výpočet délek jednotlivých stran v pravoúhlém trojúhelníku:
pro výpočet délky přepony: 
pro výpočet délek odvěsen:
K čemu je znalost Pythagorovy věty a výpočtů podle jejího matematického vyjádření výhodná?
- k určování, zda se jedná o pravoúhlý trojúhelník
- k určení velikostí jednotlivých stran pravoúhlého trojúhelníku
- k dílčím výpočtům složitějších slovních úloh
Určení, zda se jedná o pravoúhlý trojúhelník
Příklad 1.
Zjisti, zda trojúhelník ABC, který má rozměry stran:
a = 12 [cm], b = 20 [cm], c = 23 [cm]
je pravoúhlý?
Z předchozích informací víš
- jedná-li se o pravoúhlý trojúhelník, je nejdelší stranou trojúhelníku přepona
- ze znění Pythagorovy věty, že hodnota druhé mocniny velikosti přepony musí být rovna součtu hodnot druhých mocnin obou odvěsen, aby se jednalo o pravoúhlý trojúhelník
Pro zjištění, zda je trojúhelník pravoúhlý využijeme matematického vyjádření Pythagorovy věty.
Po dosazení rozměrů zadaných stran trojúhelníku se hodnota levé strany musí rovnat hodnotě pravé strany rovnice, aby se o pravoúhlý trojúhelník jednalo.
Hodnoty se nerovnají, nejedná se o pravoúhlý trojúhelník!
Výpočet přepony
Příklad 2.
Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je-li
a = 8 [cm], b = 9 [cm], c = ? [cm]
Délka přepony c pravoúhlého trojúhelníku ABC je asi 12 [cm].
Je důležité umět užít matematické vyjádření Pythagorovy věty i pro jiná označení pravoúhlých trojúhelníků.
Příklad 3.
Vypočítej délku přepony pravoúhlého trojúhelníku DEF, jsou-li dány délky odvěsen:
d = 12 [cm], e = 16 [cm].
Ze zadání vyplývá, že přeponou je strana f , tedy dosadíme do vzorce pro výpočet přepony platí, že c = f.
Zda a = d nebo a = e není důležité.
Rozměry stran d a e mohu dosadit libovolně za a a b.
Délka přepony f pravoúhlého trojúhelníku DEF je 20 [cm].
Délku přepony v libovolném pravoúhlém trojúhelníku zjistím tak, že odmocním součet druhých mocnin odvěsen.
Příklad 4.
Vypočítej délku přepony pravoúhlého trojúhelníku DEF, jsou-li dány délky odvěsen:
d = 5,2 [dm], e = 7,8 [dm], f = ? [dm]
Délka přepony f pravoúhlého trojúhelníku DEF je asi 9,37 [dm].
Je nezbytné, aby rozměry stran byly zadány ve stejných jednotkách!
Než začneš daný příklad řešit, převeď rozměry na stejné jednotky!
Výpočty odvěsen
Délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníku zjistím tak, že odmocním rozdíl druhé mocniny délky přepony a druhé mocniny druhé z odvěsen.
Příklad 5.
V trojúhelníku ABC je dáno:
Délka odvěsny b = 8,2 [mm], délka přepony c = 0,147 [dm].
Zjisti délku druhé odvěsny, a = ?.
nejprve převedeme zadané rozměry na stejné jednotky, např. [mm]
b = 8,2 [mm]
c = 0,147 [dm] = 14,7 [mm]
dosadíme do matematického vyjádření pro výpočet odvěsny, tedy:
délka druhé odvěsny se rovná odmocnině rozdílu druhých mocnin délky přepony a známé odvěsny
Odvěsna a pravoúhlého trojúhelníku ABC je asi 12 [mm].
Příklad 6.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, je dáno:
c = 31,7 [m]
Strana c leží proti vrcholu C, tedy proti pravému úhlu, největšímu úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
Jedná se o nejdelší stranu v pravoúhlém trojúhelníku, o přeponu.
a
a = 138 [dm]
Zjisti délku strany b, b = ?
a, b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku
Převedu na shodné jednotky tak, aby to bylo pro výpočet výhodné.
c = 31,7 [m] = 317 [dm]
a = 138 [dm]
b = ?
dosadím do matematického vyjádření pro výpočet odvěsny:
délka odvěsny je rovna odmocnině rozdílu druhé mocniny délky přepony a druhé mocniny délky známé odvěsny
Odvěsna b pravoúhlého trojúhelníku ABC je asi 285,39 [dm].
Příklad 7.
V pravoúhlém trojúhelníku TUV s pravým úhlem při vrcholu V je dáno:
t = 15 [mm], u = 3,6 [cm], v = ?
Je-li známo, že pravý úhel leží u vrcholu V, pak strana v ležící proti pravému úhlu je nejdelší stranou v pravoúhlém trojúhelníku a jeho přeponou. Zbývající strany t a u jsou odvěsny.
zadané údaje převedu na stejné jednotky, v tomto případě na milimetry, tak nemusím počítat s desetinnými čísly
t = 15 [mm]
u = 3,6 [cm] = 36 [mm]
v = ?
ze zadání plyne, že strana v je přeponou v tomto pravoúhlém trojúhelníku, dosadím tedy do matematického vyjádření pro výpočet délky přepony
odmocnina součtu druhých mocnin odvěsen
Délka přepony v pravoúhlého trojúhelníku TUV je 39 [mm].
Příklad 8
V pravoúhlém trojúhelníku TUV s pravým úhlem při vrcholu V je dáno:
v = 345 [mm], u = 12,8 [cm], t = ?
zadané údaje převedu na shodné jednotky, v tomto případě na [mm], tak nemusím počítat s desetinnými čísly
v = 345 [mm]
u = 12,8 [cm] = 128 [mm]
t = ?
ze zadání plyne, že strana t je jedna z odvěsen
dosadím do matematického vyjádření pro výpočet délky odvěsny
odmocnina rozdílu druhé mocniny délky přepony a druhé mocniny délky známé odvěsny
Délka odvěsny t pravoúhlého trojúhelníku TUV je asi 320 [mm].
Příklad 9
V pravoúhlém trojúhelníku TUV s pravým úhlem při vrcholu V je dáno:
t = 0,007 [m], v = 0,19 [dm], u = ?
zadané údaje převedu na stejné jednotky, v tomto případě na [mm], tak nemusím počítat s desetinnými čísly
t = 0,007 [m] = 7 [mm]
v = 0,19 [dm] = 19 [mm]
u = ?
ze zadání plyne, že strana u je jedna z odvěsen
dosadím do matematického vyjádření pro výpočet délky odvěsny
odmocnina rozdílu druhé mocniny délky přepony a druhé mocniny délky známé odvěsny
Délka odvěsny u pravoúhlého trojúhelníku TUV je asi 18 [mm].
Užití Pythagorovy věty při řešení slovních úloh
Užití Pythagorovy věty při řešení slovních úloh s geometrickou problematikou je velmi široké.
Příklad 10.
Mezi bloky domů, které spolu svírají pravý úhel, je trávník. Kolem domů vede chodník. Kolik metrů čtverečních dlaždic bude potřeba na výstavbu chodníku, jehož šířka má být 1,5 [m] a povede přes trávník tak, že vytvoří se stávajícími chodníky přeponu pravoúhlého trojúhelníku?
Délky stávajících chodníků jsou 220 [m] a 170 [m].
Pravoúhlý trojúhelník má tedy rozměry odvěsen 220 [m] a 170 [m].
Délku zamýšleného chodníku označíme proměnnou x.
.
